기초대수학 문제 풀이

1. 아래의 참 / 거짓을 판별하시오.

1) G = {2, 4, 6, 8}은 mod 10 곱셈 연산에 대해 group이다.  → 참

항등원은 6으로 group인데 mod 10이기 때문에 참이다.

 

2 * 6 = 2 (mod 10), 4 * 6 = 4 (mod 10), 6 * 6 = 6 (mod 10), 8 * 6 = 8 (mod 10)

 

2) 홀수 집합 G는 정수 곱셈 연산에 대해 group이다. → 거짓

 

항등원은 1이지만, 1을 제외한 역원이 존재하지 않는다.

1의 역원 : -1

 

2. group Z75 *의 위수를 구하시오.

φ(75) = φ(3 * 5^2) = φ(3) * φ(5^2) = 2 * 5 * 4 = 40

→ 40

 

3. 아래 group에 대해 2가 generator인지 아닌지 판단하시오.

1) Z7 * ≠ ⟨2⟩

2) Z13 * = ⟨2⟩

3) Z19 * = ⟨2⟩

4) Z23 * ≠ ⟨2⟩

 

Z7 * = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

 

2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8 = 1 (mod 7),

2^4 = 16 = 2 (mod 7), 2^5 = 32 = 4 (mod 7), 2^6 = 64 = 1 (mod 7)

위 식을 보면 2, 4, 1만 반복되고, 나머지 원소인 3, 5, 6은 반복되지 않는다. 

나머지 수들도 위와 같이 계산하면 된다.

이하 생략

 

4. G = Z7 * = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = ⟨5⟩에 대해 위수가 2인 부분군을 구하시오.

 

- 위수가 2인 부분군이므로 항등원과 역원이 자기 자신인 원소로 구성 되어야 함

a^(-1) = a (mod 7) 이 식에 알맞게 대입해보면, 1 = 5^6 = (5^3)^2 (mod 7)

위수 2, 원소 5^3 이므로 → {1, 6}

 

5. 그룹 (Z15 *, × )에 대해 원소 4의 위수를 구하시오.

4, 4^2 = 1 이다.

따라서 |4| = 2 → 2

 

6. 1차 방정식 3x + 1 = 2의 해를 아래 집합에서 구하시오.

1) Z6

- Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} → 해 X

2) Z7

- Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} → x = 5

3) Z8 

 - Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} → x = 3

 

7. 유한체 Z7에 대해 x^7 - x = 0을 만족하는 모든 해를 찾으시오.

Z7의 원소는 Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 이므로 식에 대입하여 연산 했을 때 모두 성립하기 때문에 모든 원소가 해이다.

 

 

8. 유한체 Zp (p는 소수)에 대해 x ∈ Zp이면 x^p - x = 0임을 보이시오.

0이 아닌 원소 a는 페르마의 작은 정리에 의해 a^p-1 = 1 >> a^p = a를 만족한다.

0은 당연히 x^p - x = 0의 해이고 따라서, 유한체 Zp (p는 소수)에 대해 x ∈ Zp이면 x^p - x = 0이다.